Question

【題目】從拋物線上各點(diǎn)向x軸作垂線，垂線段中點(diǎn)的軌跡為E.

（1）求曲線E的方程；

（2）若直線與曲線E相交于A，B兩點(diǎn)，求證：；

（3）若點(diǎn)F為曲線E的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與曲線E交于M，N兩點(diǎn)，直線，分別與曲線E交于C，D兩點(diǎn)，設(shè)直線，斜率分別為，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.

【解析】

(1)設(shè)垂線段的中點(diǎn)為，時(shí)拋物線上的點(diǎn)，得出，代入拋物線方程可求出曲線E的方程.
(2)將直線代入拋物線方程，求得，代入直線方程求得，由，即可證明.
(3)設(shè)直線：，設(shè)，聯(lián)立直線方程與拋物線方程，利用韋達(dá)定理的關(guān)系得，由M，F，C三點(diǎn)共線，M，F，C三點(diǎn)共線，

利用的坐標(biāo)表示出的坐標(biāo),即可得到答案.

（1）令拋物線上一點(diǎn)，設(shè)垂線段的中點(diǎn)為.

由已知得，

∵滿足，∴，則，即

∴曲線E的方程為：

（2）由，可得，

設(shè)，由于，

由韋達(dá)定理可知：，

，

∴，

∴

（3）設(shè)，直線：，則

由得

則恒成立，

設(shè)

由M，F，C三點(diǎn)共線，得，，化簡(jiǎn)為：，從而

同理，由N，F，D三點(diǎn)共線，得

所以

所以