Question

【題目】如圖所示，三棱柱的側棱垂直于底面，且底面是邊長為2的正三角形，，點D，E，F分別是所在棱的中點.

（1）在線段上找一點使得平面∥平面，給出點的位置并證明你的結論；

（2）在（1）的條件下，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）點與點重合，證明見解析，（2）

【解析】

（1）首先連接，.根據三角形中位線得到，根據四邊形是平行四邊形，得到，即證平面∥平面.

（2）首先以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.分別求平面和平面的法向量，再代入二面角公式計算即可.

（1）點與點重合，證明如下：

連接，.

因為分別是和的中點，所以.

因為平面，平面，所以平面.

因為分別是和的中點，所以，且，

所以四邊形是平行四邊形，所以.

因為平面，平面，所以平面.

又因為，所以平面平面.

（2）以點為坐標原點，分別以所在直線為軸，軸，軸

建立如圖所示的空間直角坐標系.

由（1）可得二面角即.

則，，.

所以，.

因為平面平面，所以平面的法向量即平面的法向量，

設為，則.

令，則.

因為，，.

所以，.

設平面的一個法向量為.

則，

令，則.

則.

由圖易知二面角的平面角是銳角，所以余弦值為.