Question

【題目】已知直線與橢圓相切于第一象限的點，且直線與軸，軸分別交于點，，當（為坐標原點）的面積最小時，（，為橢圓的兩個焦點），則此時中的平分線的長度為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用直線與橢圓相切可求得直線的方程為,從而得到,結合基本不等式即可求出面積最小時的取值情況,再利用余弦定理和面積公式即可求出結論.

由題可知,直線的斜率一定存在,故可設直線的方程為,

聯立,

又直線與橢圓相切,所以,

即①,

又直線過點,即有②,

且在橢圓上,即有③,

由①②③可得,

因此直線的方程為,

∴,,

∴,

∵,

∴,∴,

當且僅當時等號成立,此時面積最小,

設,,則,

由余弦定理,可知,

∴,,

又,即,

∴,∴,即,

設在中,的平分線長度為,

則,

∴,

故選:B.