Question

【題目】等差數列首項和公差都是，記的前n項和為，等比數列各項均為正數，公比為q，記的前n項和為：

（1）寫出構成的集合A；

（2）若將中的整數項按從小到大的順序構成數列，求的一個通項公式；

（3）若q為正整數，問是否存在大于1的正整數k，使得同時為（1）中集合A的元素？若存在，寫出所有符合條件的的通項公式，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）n為奇數，；n為偶數，；（3）存在；或或.

【解析】

（1）直接由等差數列的求和公式得到，再把分別代入，即可求出集合；（2）寫出，根據整數項構成，得到或為的整數倍，從而得到的通項；（3）根據的前n項和為，根據同時為（1）中集合A的元素，進行分類討論，從而得到的通項公式.

（1）因為等差數列的首項和公差都是，

所以.

把分別代入上式，

得到；

（2）由（1）得，

因為中的整數項按從小到大的順序構成數列，

所以或為的整數倍，

①當，即時，

此時是的奇數項，所以

所以，

②當時，

此時是的偶數項，所以

所以

綜上所述，為奇數，；為偶數，；

（3）①當時，，，

所以，

同時為（1）中集合A的元素，

所以,，得，

所以，

所以；

②當時，，

所以，

因為為正整數，正整數大于，

所以i）當時，，

得到，此時，，

所以，得，

故；

ii）當時，，得，此時，，

所以，得，

故；

iii）當，，時，找不到滿足條件的.

綜上所述，存在符合條件的，

通項公式為：或或.