Question

【題目】如圖，三棱錐中，底面ABC，M是 BC的中點，若底面ABC是邊長為2的正三角形，且PB與底面ABC所成的角為. 求：

（1）三棱錐的體積；

（2）異面直線PM與AC所成角的大小. （結果用反三角函數值表示）

Answer 1

【答案】（1）2;（2）．

【解析】

試題（1）欲求三棱錐P-ABC的體積，只需求出底面積和高即可，因為底面ABC是邊長為2的正三角形，所以底面積可用來計算，其中a是正三角形的邊長，又因為PA⊥底面ABC，所以三棱錐的高就是PA長，再代入三棱錐的體積公式即可．（2）欲求異面直線所成角，只需平移兩條異面直線中的一條，是它們成為相交直線即可，由M為BC中點，可借助三角形的中位線平行于第三邊的性質，做出的中位線，就可平移BC，把異面直線所成角轉化為平面角，再放入中，求出角即可．

試題解析：（1）因為底面，與底面所成的角為

所以, 因為，所以

（2）連接，取的中點，記為，連接，則

所以為異面直線與所成的角

計算可得：，，

異面直線與所成的角為．