Question

【題目】定義在上的函數，如果滿足：對任意，存在常數，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界．

（1）設，判斷在上是否為有界函數，若是，請說明理由，并寫出的所有上界的集合；若不是，也請說明理由；

（2）若函數在上是以為上界的有界函數，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）是，理由見解析，（2）

【解析】

（1）根據的單調性求得在區間上的取值范圍，由此得出，進而判斷出在在上是有界函數，并由此求得所有上屆的集合.

（2）根據的上界得到，令進行換元、分離常數，將問題轉化為，然后利用導數求得在區間上，函數的最大值以及函數的最小值，由此求得實數的取值范圍.

（1），，則在上是增函數，故，即，

故，所以是有界函數．

所以，上界滿足，所有上界的集合是．

（2）由題意，對恒成立，

即，

令，則，原不等式變為，

故， 故，

令，當時，，即函數在區間上是增函數，故.

令，當時，，即函數在區間上是減函數，故．

綜上，實數的取值范圍是．