Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中所有棱長(zhǎng)都為2，底面ABCD為正方形，側(cè)面DD₁C₁C⊥底面ABCD，∠D₁DC=60°
（Ι）證明：平面CDD₁C₁⊥平面DAA₁D₁；
（Ⅱ）若O為底面ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，求四面體B₁-A₁OC₁的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ι）利用平面與平面垂直的性質(zhì)，可得AD⊥側(cè)面DD₁C₁C，即可證明：平面CDD₁C₁⊥平面DAA₁D₁；
（Ⅱ）過(guò)D₁作D₁E⊥DC，垂足為E，則D₁E⊥底面ABCD，可得O到平面B₁A₁C₁的距離為

3

，即可求四面體B₁-A₁OC₁的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵側(cè)面DD₁C₁C⊥底面ABCD，側(cè)面DD₁C₁C∩底面ABCD=CD，AD⊥CD，
∴AD⊥側(cè)面DD₁C₁C，
∵AD?平面DAA₁D₁，
∴平面CDD₁C₁⊥平面DAA₁D₁；
（Ⅱ）解：過(guò)D₁作D₁E⊥DC，垂足為E，則D₁E⊥底面ABCD，
∵D₁D=2，∠D₁DC=60°
∴D₁E=

3

，即四棱柱的高為

3

，
∵O為底面ABCD的對(duì)角線交點(diǎn)，
∴O到平面B₁A₁C₁的距離為

3

，
∴B₁-A₁OC₁的體積為

1

3

×2×2×

3

=

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的判定，考查錐體體積的計(jì)算，正確運(yùn)用平面與平面垂直的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．