Question

非零向量

a

，

b

夾角為60°，且|

a

-

b

|=1，則|

a

+

b

|的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：平面向量及應用

分析：非零向量

a

，

b

夾角為60°，|

a

-

b

|=1，可得

a

2+

b

2=|

a

||

b

|+1≥2|

a

||

b

|，可得|

a

||

b

|≤1．于是|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

2| a || b |+1

，即可得出．

解答： 解：∵非零向量

a

，

b

夾角為60°，|

a

-

b

|=1，∴

a

2+

b

2-2

a

•

b

=1，即

a

2+

b

2-2|

a

||

b

|cos60°=1，
化為

a

2+

b

2=|

a

||

b

|+1≥2|

a

||

b

|，可得|

a

||

b

|≤1．當且僅當|

a

|=|

b

|=1時取等號．
∴|

a

+

b

|=

a 2+ b 2+2 a • b

=

a 2+ b 2+2| a || b |cos60°

=

2| a || b |+1

，
∴1＜2|

a

||

b

|+1≤3，
∴1＜|

a

+

b

|≤

3

．
∴|

a

+

b

|的取值范圍為(1，

3

]．
故答案為：(1，

3

]．

點評：本題考查了向量的數量積定義及其運算性質、基本不等式的性質，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．