Question

【題目】如圖1，已知矩形ABCD中， ，點E是邊BC上的點，且 ，DE與AC相交于點H．現將△ACD沿AC折起，如圖2，點D的位置記為D'，此時 ．
（Ⅰ）求證：D'H⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角H﹣D'E﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）在矩形ABCD中，因為 ，
所以 ，則∠EDC=∠ACB．
又因為 ，所以 ．
則 ，所以AC⊥DE，即D'H⊥AC．
又△CHE∽△AHD，且 ，所以 ， ．則 ，所以D'H⊥HE．
而直線AC與HE是平面ABC內的兩條相交直線，所以D'H⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，HA，HE，HD'相互垂直，所以以H為坐標原點，HA，HE，HD'分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系H﹣xyz，
則 ， ，
所以 ， ．
設平面AED'的法向量為 =（x，y，z），則 ．取 ，則 ，
所以 =（ ， ， ）．
又平面HD'E的一個法向量為 =（1，0，0），設二面角H﹣D'E﹣A的平面角為θ，則cosθ= = ，所以二面角H﹣D'E﹣A的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）推導出AC⊥DE，DH′⊥AC，D′H⊥HE，從而D′H⊥平面ABC；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，HA，HE，HD'相互垂直，所以以H為坐標原點，HA，HE，HD'分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系H﹣xyz，利用向量方法，求二面角H﹣D'E﹣A的余弦值．
【考點精析】利用直線與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．