Question

設F₁、F₂分別是橢圓

x2

9

+y2=1的左、右焦點．
（I）若M是該橢圓上的一個動點，求

mF1

•

MF2

的最大值和最小值；
（II）設過定點（0，2）的直線l與橢圓交于不同兩點A、B，且∠AOB為鈍角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由根據題意建立

MF1

•

MF2

關于x的函數，再求最值；
（II）由∠AOB為鈍角，則有

OA

•

OB

＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，可整理為

27

1+9k2

+

-9k2+4

1+9k2

＜0再求得k²的范圍．

解答：解：（I）由已知a=3，b=1，c=2

2

，則F1(-2

2

，0)，F2(2

2

，0)，設M(x，y)（2分）

MF1

•

MF2

=(-2

2

-x)(2

2

-x)+y2=

8

9

x2-7?x∈[-3，3]（5分）
所以當x=0時，

MF1

•

MF2

有最小值為-7；
當x=±3時，

MF1

•

MF2

有最大值為1．（7分）
（II）設點A（x₁，y₂），B（x₂，y₂）直線AB方程：y=kx+2

y=kx+2 x2+9y2=9

?(1+9k2)x2+36kx+27=0，※
有x1+x2=-

36k

1+9k2

，?x1x2=

27

1+9k2

?y1y2=

-9k2+4

1+9k2

（9分）
因為∠AOB為鈍角，
所以

OA

•

OB

＜0，即x1x2+y1y2＜0?

27

1+9k2

+

-9k2+4

1+9k2

＜0（12分）
解得k2＞

31

9

?k＞

31

3

或

31

3

，此時滿足方程※有兩個不等的實根（14分）
故直線l的斜率k的取值范圍k＞

31

3

或k＜-

31

3

點評：本題主要考查橢圓方程及其性質的應用及直線與圓錐曲線的位置關系在構造平面圖形解決有關問題中的應用．