Question

設F₁，F₂分別是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右焦點，若橢圓C上的一點A（1，

3

2

）到F₁，F₂的距離之和為4．
（1）求橢圓方程；
（2）若M，N是橢圓C上兩個不同的點，線段MN的垂直平分線與x軸交于點P，求證：|

OP

|＜

1

2

；
（3）若M，N是橢圓C上兩個不同的點，Q是橢圓C上不同于M，N的任意一點，若直線QM，QN的斜率分別為K_QM•K_QN．問：“點M，N關于原點對稱”是K_QM•K_QN=-

3

4

的什么條件？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由題意可得

1 a2 + 9 4b2 =1 2a=4

，解得即可；
（2）利用線段垂直平分線的性質和點在橢圓上即可得出；
（3）利用“點M，N關于原點對稱”和斜率計算公式即可得出．

解答：解：（1）由題意可得

1 a2 + 9 4b2 =1 2a=4

，解得a=2，b²=3．
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，0），
則|PM|=|PN|，∴(x1-x0)2+

y

2 1

=(x2-y2)2+

y

2 2

．（*）
又M，N在橢圓上，∴

y

2 1

=3-

3

4

x

2 1

，

y

2 2

=3-

3

4

x

2 2

；
代入（*）得x0=

x1+x2

8

＜

2+2

8

=

1

2

，則有|

OP

|＜

1

2

．
（3）“點M，N關于原點對稱”是K_QM•K_QN=-

3

4

的充要條件．
證明：設M（x₁，y₁），Q（x₀，y₀），則N（-x₁，-y₁）．
于是

x 2 1

4

+

y 2 1

3

=1，

x 2 0

4

+

y 2 0

3

=1，得到

y 2 1 - y 2 0

x 2 1 - x 2 0

=-

3

4

．
∴kQM•kQN=

y1-y0

x1-x0

•

-y1-y0

-x1-x0

=

y 2 1 - y 2 0

x 2 1 - x 2 0

=-

3

4

?點M，N關于原點對稱．

點評：熟練掌握橢圓的標準方程及其性質、斜率計算公式、充要條件等是解題的關鍵．