Question

（2009•南匯區二模）設F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，其右焦點是直線y=x-1與x軸的交點，短軸的長是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個動點，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）若P是該橢圓上的一個動點，點A（5，0），求線段AP中點M的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）利用右焦點是直線y=x-1與x軸的交點，短軸的長是焦距的2倍，可求c=1，且b=2c=2，從而可求橢圓的標準方程；
（2）用坐標表示向量，結合橢圓的范圍，從而確定向量數量積的最大值；
（3）設設M（x，y），利用M是AP的中點，求得P點坐標為（2x-5，2y），代入橢圓方程可求解．

解答：解：（1）易知直線y=x-1與x軸的交點是（1，0），所以c=1，且b=2c=2，
所以橢圓的方程是

x2

5

+

y2

4

=1…（4分）
（2）易知F₁=（-1，0），F₂（1，0）…（6分）
設P（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-1-x，-y)•(1-x，-y)=x2+y2-1
=x2+4-

4

5

x2-1=

1

5

x2+3…（8分）∵x∈[-

5

，

5

]，∴當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，

PF1

•

PF2

有最小值3；
當x=±

5

，即點P為橢圓長軸端點時，

PF1

•

PF2

有最大值4     …（10分）
（3）設M（x，y），則P點坐標為（2x-5，2y），…（12分）
代入橢圓方程，得：

(2x-5)2

5

+

(2y)2

4

=1，即

(2x-5)2

5

+y2=1…（16分）

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合問題，主要考查橢圓的標準方程，考查向量意解析幾何的結合，同時考查代入法求軌跡方程，由一定的綜合性