Question

（2009•南匯區二模）設F₁、F₂分別是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點，其右焦點是直線y=x-1與x軸的交點，短軸的長是焦距的2倍．
（1）求橢圓的方程；
（2）若P是該橢圓上的一個動點，求

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）是否存在過點A（5，0）的直線l與橢圓交于不同的兩點C、D，使得|F₂C|=|F₂D|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）易知直線y=x-1與x軸的交點是（1，0），利用右焦點是直線y=x-1與x軸的交點，短軸的長是焦距的2倍所以c=1，且b=2c=2，故方程可求；
（2）設P（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-1-x，-y)• (1-x，-y)=x2+y2+1=x2+4-

4

5

x2-1=

1

5

x2+3
根據x的取值范圍能夠得到

PF1

•

PF2

的最大值和最小值；
（3）假設存在滿足條件的直線l．由題意知點A（5，0）在橢圓的外部，當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所在直線l斜率存在，設為k，則直線l的方程為y=k（x-5），再把直線y=k（x-5）和橢圓

x2

5

+

y2

4

=1聯系方程用根的判別式求l的方程或說明理由．

解答：解：（1）易知直線y=x-1與x軸的交點是（1，0），所以c=1，且b=2c=2，
所以橢圓的方程是

x2

5

+

y2

4

=1…（4分）
（2）易知F₁=（-1，0），F₂（1，0）…（6分）
設P（x，y），則

PF1

•

PF2

=(-1-x，-y)•(1-x，-y)=x2+y2-1
=x2+4-

4

5

x2-1=

1

5

x2+3…（8分）∵x∈[-

5

，

5

]，∴當x=0，即點P為橢圓短軸端點時，

PF1

•

PF2

有最小值3；
當x=±

5

，即點P為橢圓長軸端點時，

PF1

•

PF2

有最大值4     …（10分）
（3）假設存在這樣的直線：y=kx+b   5k+b=0 k=-

b

5

連接F₂C，F₂D，并作F₂H垂直于CD，交直線y與H，△F2CD為等腰△
設C 點的坐標為（x₁，y₁）D 點的坐標為（x₂，y₂），F₂H的斜率為：

5

b

把y=kx+b和

x2

5

+

y2

4

=1聯立，并消去y：
（20+b²）x²-10b² x+25b²-100=0
根據二次方程定理：

x1+x2

2

=

5b2

20+b2

同理

y1+y2

2

=

20b

20+b2

∴直線的斜率

20b 20+b2

5b2 20+b2 -1

 =

5

b

．方程b無解
故不存在直線，使得|F₂C|=|F₂D|

點評：本題的考點是直線與圓錐曲線的綜合運用．主要考查橢圓的標準方程，考查橢圓與向量的結合，最值的求解，考查代入法求軌跡方程，解題時要仔細審題，認真解答．