Question

（2013•安徽）設(shè)橢圓E：

x2

a2

+

y2

1-a2

=1的焦點在x軸上
（1）若橢圓E的焦距為1，求橢圓E的方程；
（2）設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E的左、右焦點，P為橢圓E上第一象限內(nèi)的點，直線F₂P交y軸于點Q，并且F₁P⊥F₁Q，證明：當a變化時，點P在某定直線上．

Answer 1

分析：（1）利用橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)即可得出a2-(1-a2)=(

1

2

)2，解出即可；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），其中c=

2a2-1

．利用斜率的計算公式和點斜式即可得出直線F₁P的斜率kF1P=

y0

x0+c

，直線F₂P的方程為y=

y0

x0-c

(x-c)．即可得出Q(0，

cy0

c-x0

)．得到直線F₁Q的斜率kF1Q=

y0

c-x0

．利用F₁Q⊥F₁P，可得kF1Q•kF1P=

y0

x0+c

•

y0

c-x0

=-1．化為

y

2 0

=

x

2 0

-(2a2-1)．與橢圓的方程聯(lián)立即可解出點P的坐標．

解答：解：（1）∵橢圓E的焦距為1，∴a2-(1-a2)=(

1

2

)2，解得a2=

5

8

．
故橢圓E的方程為

8x2

5

+

8y2

3

=1．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），其中c=

2a2-1

．
由題設(shè)可知：x₀≠c．則直線F₁P的斜率kF1P=

y0

x0+c

，直線F₂P的斜率kF2P=

y0

x0-c

．
故直線F₂P的方程為y=

y0

x0-c

(x-c)．
令x=0，解得y=

cy0

c-x0

．即點Q(0，

cy0

c-x0

)．
因此直線F₁Q的斜率kF1Q=

y0

c-x0

．
∵F₁Q⊥F₁P，∴kF1Q•kF1P=

y0

x0+c

•

y0

c-x0

=-1．
化為

y

2 0

=

x

2 0

-(2a2-1)．
聯(lián)立

y 2 0 = x 2 0 -(2a2-1) x 2 0 a2 + y 2 0 1-a2 =1

，及x₀＞0，y₀＞0，
解得x0=a2，y0=1-a2．
即點P在定直線x+y=1上．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程及其幾何性質(zhì)，直線和直線、直線和橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識和基本技能，看出數(shù)形結(jié)合的思想、推理能力和計算能力．