Question

已知x、y滿足條件：

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

求：（1）4x-3y的最大值和最小值；
（2）x²+y²的最大值和最小值．

Answer 1

分析：作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，進行求最值即可．

解答：解：（1）不等式組

7x-5y-23≤0 x+7y-11≤0 4x+y+10≥0

表示的公共區域如圖所示：
其中A（4，1）、B（-1，-6）、C（-3，2），
設z=4x-3y，則y=

4

3

x-

z

3

，平移直線y=

4

3

x-

z

3

，
由圖象可知當直線y=

4

3

x-

z

3

過C點時，直線y=

4

3

x-

z

3

的截距最大，此時z取得最小值．
當直線y=

4

3

x-

z

3

過B直線y=

4

3

x-

z

3

的截距最小，z取得最大值．．
∴將B（-1，-6），代入z=4x-3y得最大值z=4×（-1）-3×（-6）=14，
將C（-3，2），代入z=4x-3y得最大值z的最小值z=4×（-3）-3×2=-18．
（2）設z=x²+y²，則z的幾何意義為平面區域內的點到原點距離的平方的取值范圍．
由圖象可知z的最小值為0，C點到原點的距離為OC=

(-3)2+22

=

9+4

=

13

，
A點到原點的距離OA=

42+1

=

17

，
∴A點距離原點遠，
∴0≤z≤OA²，即0≤z≤17，
即x²+y²的最大值為17．

點評：本題主要考查線性規劃的基本應用，利用目標函數的幾何意義是解決問題的關鍵，利用數形結合是解決問題的基本方法．