Question

【題目】對于任意的復數，定義運算為．

（1）設集合{均為整數}，用列舉法寫出集合；

（2）若，為純虛數，求的最小值；

（3）問：直線上是否存在橫坐標、縱坐標都為整數的點，使該點對應的復數經運算后，對應的點也在直線上？若存在，求出所有的點；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）根據題意得到，代入計算得到答案.

（2）根據計算法則得到，代入計算復數模，根據二次函數性質得到最值.

（3）假設存在這樣的點，計算得到，討論為奇數和為偶數兩種情況，計算得到答案.

（1）均為整數，則，

，，，，，故.

（2），∵是純虛數，∴且，

∴，∴，或時，的最小值為.

（3）假設存在這樣的點，設該點對應的復數為，

則，

若為奇數，則，∴，；

若為偶數，則，∴，無解．

綜上，存在這樣的點，坐標為或.