Question

【題目】已知可以表示為一個奇函數g（x）與一個偶函數h（x）之和，若不等式對于恒成立，則實數a的取值范圍是________.

Answer 1

【答案】

【解析】

試題依題意，g(x)+h(x)=.....（1），∵g(x)是奇函數，∴g(-x)=-g(x)；∵h(x)是偶函數，∴h(-x)=h(x)；

∴g(-x)+h(-x)="h(x)-g(x)="......(2)

解(1)和(2)組成的方程組得h(x)=，g(x)=

∴ag(x)+h(2x)=a+，∴a·+≥0在x∈[1,2]恒成立

令t=，∴=，當x∈[1,2]時，t∈[2,4]，

∴原不等式化為a(t－)+(t2+)≥0在t∈[2,4]上恒成立，由不等式a(t－)+(t2+)≥0，

可得a(t－)≥－(t2+)，∵當t∈[2,4]時，t－t>0恒成立，∴a≥==，即a≥在t∈[2,4]上恒成立，

令u=t－,求導得=1+>0恒成立，∴u=t-在t∈[2,4]上單調遞增

∴u∈[]，令f(u)=u+，u∈[]，

求導得(u)=1->0在u∈[]上恒成立，∴f(u)在u∈[]上單調遞增

即當u=，f(u)取最小值f()=，

當u=時，可解得t=2（另一根不在t∈[2,4]內故舍去）

∴當t=2時，取最小值為，即取最大值為－，∴a≥－，當t=2，x=1時取等號，∴a的最小值為－．