Question

【題目】已知函數f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|，a＞0． （Ⅰ）當a=1時，求不等式f（x）＞1的解集；
（Ⅱ）若f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=1時，不等式f（x）＞1，即|x+1|﹣2|x﹣1|＞1， 即 ①，或 ②，
或 ③．
解①求得x∈，解②求得 ＜x＜1，解③求得1≤x＜2．
綜上可得，原不等式的解集為（ ，2）．
（Ⅱ）函數f（x）=|x+1|﹣2|x﹣a|= ，
由此求得f（x）的圖象與x軸的交點A （ ，0），
B（2a+1，0），
故f（x）的圖象與x軸圍成的三角形的第三個頂點C（a，a+1），
由△ABC的面積大于6，
可得 [2a+1﹣ ]（a+1）＞6，求得a＞2．
故要求的a的范圍為（2，+∞）．

【解析】（Ⅰ）當a=1時，把原不等式去掉絕對值，轉化為與之等價的三個不等式組，分別求得每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）化簡函數f（x）的解析式，求得它的圖象與x軸圍成的三角形的三個頂點的坐標，從而求得f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積；再根據f（x）的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，從而求得a的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了絕對值不等式的解法的相關知識點，需要掌握含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能正確解答此題．