Question

【題目】已知函數，．

（1）設兩點，，且，若函數的圖象分別在點、處的兩條切線互相垂直，求的最小值；

（2）若對任意，恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）．

【解析】

（1）求得的導數即可得切線的斜率，再由兩直線垂直的條件，結合基本不等式即可得所求最小值；

（2）設函數，求得導數，討論的范圍，判斷單調性，可得極值和最小值，再由最小值不小于，解不等式可得所求范圍.

（1）因為，

所以，故，

即，且，．

所以．

當且僅當，即且時，等號成立．

所以函數的圖象分別在點處的兩條切線互相垂直時，的最小值為1．

（2），．

設函數=（），

則．

由題設可知≥0，即．令=0得，，．

①若，則，∴，，，

，即在單調遞減，在單調遞增，

故在取最小值．

而，

∴當時，，即恒成立．

②若，則，∴當時，，

∴在單調遞增，而，∴當時，，

即恒成立．

③若，則，

∴當時，不可能恒成立．

綜上所述，的取值范圍為．