Question

【題目】如圖四棱錐中，底面，是邊長為2的等邊三角形，且，，點是棱上的動點.

（I）求證：平面平面；

（Ⅱ）當線段最小時，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）由底面可得．取的中點，連接，根據等腰三角形的性質可得，于是得到平面，根據面面垂直的判定可得所證結論．（Ⅱ）取中點，連接，可證得，建立空間直角坐標系．然后根據向量的共線得到點的坐標，再根據線段最短得到點的位置，進而得到．求出平面的法向量后根據線面角與向量夾角間的關系可得所求．

（Ⅰ）證明：∵底面，底面，

∴．

取的中點，連接，

∵是等邊三角形，，

∴，，

∴點共線，從而得，

又，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）解：取中點，連接，則，

∴底面，

∴兩兩垂直．

以為原點如圖建立空間直角坐標系，

則，

∴,

設平面的法向量為，

由，得，

令，得．

設，則，

∴，

∴當時，有最小值，且，此時．

設直線與平面所成角為，

則，

∴直線與平面所成角的正弦值為．