Question

【題目】已知F1 ， F2分別為橢圓C1： （a＞b＞0）的上下焦點，其F1是拋物線C2：x2=4y的焦點，點M是C1與C2在第二象限的交點，且|MF1|= ．
（1）試求橢圓C1的方程；
（2）與圓x2+（y+1）2=1相切的直線l：y=k（x+t）（t≠0）交橢圓于A，B兩點，若橢圓上一點P滿足 ，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令M為（x0，y0），因為M在拋物線C2上，故x02=4y0，①

又|MF1|= ，則y0+1= ，②

由①②解得x0=﹣ ，y0=

橢圓C1的兩個焦點為F1（0，1），F2（0，﹣1），

點M在橢圓上，由橢圓定義，得

2a=|MF1|+|MF2|= =4

∴a=2，又c=1，

∴b2=a2﹣c2=3

∴橢圓C1的方程為 ．

（2）解：∵直線l：y=k（x+t）與圓x2+（y+1）2=1相切

∴ =1，即k= （t≠0，t±1）

把y=k（x+t）代入 并整理得：

（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12=0

設A（x1，y1），B（x2，y2），則有

x1+x2= ，y1+y2=k（x1+x2）+2kt=

∵ =（x1+x2，y1+y2）

∴P（ ， ）

又∵點P在橢圓上

∴ + =1

∴λ2= = （t≠0）

∵t2＞0，t2≠1，

∴ ＞1且 ≠3，

∴0＜λ2＜4且λ2≠

∴λ的取值范圍為（﹣2，﹣ ）∪（﹣ ，0）∪（0， ）∪（ ，2）

【解析】（1）利用拋物線的方程和定義即可求出點M的坐標，再利用橢圓的定義即可求出；（2）根據直線與圓相切則圓心到直線距離等于半徑，可得k= ，聯立直線與橢圓方程，結合橢圓上一點P滿足 ，可得到λ2的表達式，進而求出實數λ的取值范圍