Question

【題目】已知點，橢圓的離心率，是橢圓的右焦點，直線的斜率為，為坐標原點．

（）求橢圓的方程．

（）設(shè)過點的動直線與相交于，兩點，當的面積最大時，求直線的方程．

Answer 1

【答案】(1) .

(2) 或．

【解析】分析：（1）設(shè)，由直線的斜率為得，解得，然后根據(jù)離心率條件的得a值即可得出標準方程；（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，當直線斜率存在時，設(shè)直線，，，連立方程，由弦長公式和點到直線的距離公式得到三角形的底和高的表達式，然后根據(jù)面積公式得到表達式，結(jié)合基本不等式求解即可.

詳解：

（）設(shè)，

由直線的斜率為得，解得，

又離心率，得，

∴，

故橢圓的方程為．

（）當直線軸時，不符合題意，

當直線斜率存在時，設(shè)直線，，，

聯(lián)立，得，

由，得，即或，

，，

∴

，

又點到直線的距離，

∴的面積，

設(shè)，則，

∴，當且僅當，即時，等號成立，且，

∴直線的方程為：或．