Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）對任意，，，都有恒成立，求m的最大值.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）4

【解析】

(1)求得函數的導數，分類討論，即可求得函數的單調區間，得到答案；

(2)設，對任意，都有恒成立，轉化為函數對，恒成立，利用導數求得函數的單調性，即可求解.

(1)由題意，函數的定義域為，且，

①當，即時，恒成立，在上單調遞增；

當，即時，令得，

②當時，，據此可得：

當時，單調遞增，

當時，單調遞減，

當時，單調遞增，

③當時，，據此可得：

當時，單調遞減，

當時，單調遞增，

綜上，當時，函數在上單調遞增；當時，在區間和上單調遞增，在區間上單調遞減；當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減；

（2）因為，所以，

設，對任意，都有恒成立，

則對，恒成立，

設，

由（1）知在上單調遞減；在上單調遞增；

又，則，

又，，∴，

又，所以，所以的最大值為4.