Question

【題目】如圖所示， 與四邊形所在平面垂直，且.

（1）求證： ；

（2）若為的中點，設直線與平面所成角為，求.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由三角形全等即等腰三角形的性質可得由線面垂直的性質可得 ，從而平面，由此能證明.（2）分別以所在直線為軸，過且平行于的直線為軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量及直線的方向向量，根據空間向量夾角余弦公式及同角三角函數之間的關系，可得結果.

試題解析：(1)證明：由PA⊥平面ABCD，AB＝AD，可得PB＝PD，

又BC＝CD，PC＝PC，所以△PBC≌△PDC，所以∠PBC＝∠PDC.

因為PD⊥DC，所以PB⊥BC.3分

因為PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，

所以PA⊥BC.

又PA∩PB＝P，所以BC⊥平面PAB.

因為AB平面PAB，所以AB⊥BC.5分

(2)由BD＝BC＝CD，AB⊥BC，可得∠ABD＝30°，

又已知AB＝AD，BD＝PA＝，所以AB＝1.

如圖所示，分別以BC，BA所在直線為x，y軸，過B且平行于PA的直線為z軸建立空間直角坐標系，

則B(0，0，0)，P(0，1， )，C(，0，0)，E（， ， ），D（， ，0），所以＝（， ，－ )， ＝(， ， )， ＝(， ，0).

設平面BDE的法向量n＝(x，y，z)，

則,即取z＝－2，得n＝(3，－ ，－2)，

所以sin θ＝.