Question

【題目】已知函數f(x)＝ (其中e是自然對數的底數，常數a＞0)．

(1)當a＝1時，求曲線在(0，f(0))處的切線方程；

(2)若存在實數x∈(a,2]，使得不等式f(x)≤e2成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）切線方程為.（2）a的取值范圍是(0,1].

【解析】試題分析：（1）根據導數幾何意義得切線斜率，再根據點斜式求切線方程（2）先變量分離得 ，再利用導數求函數最大值，即得a的取值范圍．

試題解析：(1)f(x)的定義域為{x|x≠a}．

當a＝1時，f(x)＝，f′(x)＝，

∴f(0)＝－1，f′(0)＝－2.

∴曲線在(0，f(0))處的切線方程為

2x＋y＋1＝0.

(2)f′(x)＝，

令f′(x)＝0，x＝a＋1，

∴f(x)在(－∞，a)，(a，a＋1)上遞減，

在(a＋1，＋∞)上遞增.6分

若存在x∈(a,2]，使不等式f(x)≤e2成立，只需在x∈(a,2]上，f(x)min≤e2成立．

①當a＋1≤2，即0＜a≤1時，f(x)min＝f(a＋1)＝ea＋1≤e2，

∴0＜a≤1符合條件.10分

②當a＋1＞2，即1＜a＜2時，

f(x)min＝f(2)＝≤e2，解得a≤1，

又1＜a＜2，∴a∈.

綜上，a的取值范圍是(0,1].