Question

【題目】已知中心在原點O，左焦點為F1(－1,0)的橢圓C的左頂點為A，上頂點為B，F1到直線AB的距離為|OB|.

(1)求橢圓C的方程；

(2)如圖，若橢圓，橢圓，則稱橢圓C2是橢圓C1的λ倍相似橢圓．已知C2是橢圓C的3倍相似橢圓，若橢圓C的任意一條切線l交橢圓C2于兩點M、N，試求弦長|MN|的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：(1)設出橢圓的標準方程，寫出直線方程，利用點到直線的距離公式和幾何元素間的關系進行求解；(2)先寫出相似橢圓的方程，設出直線方程，聯立直線和橢圓的方程，得到關于的一元二次方程，利用根與系數的關系、距離公式進行求解.

試題解析：(1)設橢圓C的方程為，

∴直線AB的方程為＋＝1.

∴F1(－1,0)到直線AB距離d＝＝b，

整理得a2＋b2＝7(a－1)2，

又b2＝a2－1，解得a＝2，b＝，

∴橢圓C的方程為＋＝1.

(2)橢圓C的3倍相似橢圓C2的方程為＋＝1，

①若切線l垂直于x軸，則其方程為x＝±2，易求得|MN|＝2；

②若切線l不垂直于x軸，可設其方程為y＝kx＋p，

將y＝kx＋p代入橢圓C的方程，

得(3＋4k2)x2＋8kpx＋4p2－12＝0，

∴Δ＝(8kp)2－4(3＋4k2)(4p2－12)＝48(4k2＋3－p2)＝0，

即p2＝4k2＋3.(*)

記M、N兩點的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)，

將y＝kx＋p代入橢圓C2的方程，

得(3＋4k2)x2＋8kpx＋4p2－36＝0，

此時x1＋x2＝－，x1x2＝，

∴|x1－x2|＝，

∴|MN|＝·

＝4＝2，

∵3＋4k2≥3，∴1<1＋≤，

即2<2≤4，

結合①②，得弦長|MN|的取值范圍為[2，4]．