Question

【題目】如圖，在三棱臺中，二面角是直二面角，，，．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）由勾股定理可得，由面面垂直的性質可得平面，從而可得，結合，由線面垂直的判定定理可得平面；（2）在平面內，過點作，由（1）可知，以為原點，，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系，是平面的一個法向量，利用向量垂直數量積為零列方程求出平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

詳解：（1）連接，在等腰梯形中，過作交于點，因為，所以，，，所以，所以，即，又二面角是直二面角，平面，所以平面，

又平面，所以，又因為，，、平面，所以平面．

（2）如圖，在平面內，過點作，由（1）可知，以為原點，，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系．

則，，，，

所以，，設是平面的一個法向量，則，所以，

取，則，，

即，

由（1）可知平面，

所以是平面的一個法向量，

所以 ，

又二面角的平面角為銳角，

所以二面角的平面角的余弦值為．