Question

【題目】在直角坐標系中，曲線上的點均在曲線外，且對上任意一點，到直線的距離等于該點與曲線上點的距離的最小值．

（1）求動點的軌跡的方程；

（2）過點的直線與曲線交于不同的兩點、，過點的直線與曲線交于另一點，且直線過點，求證：直線過定點．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】分析：（1）設，則到直線的距離等于，又到圓上的點的距離的最小值為，將 ，化簡可得結果；（2）設點，可得直線的方程，直線的方程與直線的方程，結合點在直線上，可得直線的方程得，從而可得結果.

詳解：（1）由已知得曲線是以為圓心，為半徑的圓．

設，則到直線的距離等于，又到圓上的點的距離的最小值為，

所以由已知可得 ，化簡得，

所以曲線的方程為．

（2）設點，易得直線的斜率均存在，

從而直線的斜率，

所以直線的方程是，

即，

同理直線的方程為，

直線的方程為，

點在直線上，所以，即，

點在直線上，，即，

化簡得，

代入直線的方程得，

即 直線過定點．