Question

【題目】設函數f(x)的定義域是(0，＋∞)，且對任意正實數x，y都有f(xy)＝f(x)＋f(y)恒成立，已知f(2)＝1，且x>1時，f(x)>0.

(1)求f()的值；

(2)判斷y＝f(x)在(0，＋∞)上的單調性并給出證明；

(3)解不等式f(2x)>f(8x－6)－1.

Answer 1

【答案】（1）-1 ； （2）見解析； （3）{x|}．

【解析】

(1)先給x,y取值，當x＝y＝1時，求出 f(1)＝0. 當x＝2，y＝時，即可求出f()的值.(2) y＝f(x)在(0，＋∞)上為增函數，再利用單調性的定義證明.(3) 由(1)知，f()＝－1，所以f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f()，得到f(2x)>f(4x－3)，再利用函數的單調性解不等式得解.

(1)對于任意x，y∈R都有f(xy)＝f(x)＋f(y)，

∴當x＝y＝1時，有f(1)＝f(1)＋f(1)，∴f(1)＝0.

當x＝2，y＝時，有f(2×)＝f(2)＋f()，

即f(2)＋f()＝0，又f(2)＝1，∴f()＝－1.

(2)y＝f(x)在(0，＋∞)上為增函數，證明如下：

設0<x1<x2，則f(x1)＋f()＝f(x2)，

即f(x2)－f(x1)＝f()．

∵>1，故f()>0，

即f(x2)>f(x1)，故f(x)在(0，＋∞)上為增函數．

(3)由(1)知，f()＝－1，∴f(8x－6)－1＝f(8x－6)＋f()

＝f( (8x－6))＝f(4x－3)

∴f(2x)>f(4x－3)，

∵f(x)在定義域(0，＋∞)上為增函數，∴

解得解集為{x|}．