Question

【題目】已知函數=lnx+ax2+(2a+1)x．

（1）討論的單調性；

（2）當a﹤0時，證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）先求函數導數，再根據導函數符號的變化情況討論單調性：當時， ，則在單調遞增；當時， 在單調遞增，在單調遞減.（2）證明，即證，而，所以需證，設g（x）=lnx-x+1 ，利用導數易得，即得證.

試題解析：（1）f（x）的定義域為（0，+），.

若a≥0，則當x∈（0，+）時， ，故f（x）在（0，+）單調遞增.

若a＜0，則當x∈時， ；當x∈時， .故f（x）在單調遞增，在單調遞減.

（2）由（1）知，當a＜0時，f（x）在取得最大值，最大值為

.

所以等價于，即.

設g（x）=lnx-x+1，則.

當x∈（0,1）時， ；當x∈（1，+）時， .所以g（x）在（0,1）單調遞增，在（1，+）單調遞減.故當x=1時，g（x）取得最大值，最大值為g（1）=0.所以當x＞0時，g（x）≤0.從而當a＜0時， ，即.