【題目】設(shè)數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
，且方程
有一根為
（1）求
、
；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】（1）
，
；（2）
.
【解析】
試題（1）分別取
，根據(jù)方程
有一根
，，即可求得
、
；（2）由題設(shè)得
，，即即
當(dāng)
時(shí)，
，代入上式得
，通過(guò)計(jì)算猜想
再用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論，進(jìn)而利用當(dāng)時(shí)，，
時(shí)，
，適合上式，即可求得
的通項(xiàng)公式．
試題解析：（1）時(shí)，有一根，
于是
，解得.
時(shí)，
有一根
，
于是
，解得.
（2）由題設(shè)，得，
即①
當(dāng)時(shí)，，代入①得.②
由于（1）知
.
由②可
，由此猜想,
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論.
（ⅰ）時(shí)，已知結(jié)論成立.
（ⅱ）假設(shè)
時(shí)結(jié)論成立，即
，當(dāng)
時(shí)，由②得
，
即
，故時(shí)結(jié)論也成立.
綜上，由（ⅰ）、（ⅱ）可知，
對(duì)所有正整數(shù)
都成立，于是當(dāng)時(shí)，
，
又因?yàn)?/span>時(shí)，，所以的通項(xiàng)公式為.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知橢圓
的右頂點(diǎn)
，離心率為
，
為坐標(biāo)原點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）已知
（異于點(diǎn)
）為橢圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)作線段
的垂線
交橢圓于點(diǎn)
，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
中，
，
，
，
，
．
（Ⅰ）求異面直線AB與PD所成角的余弦值；
（Ⅱ）證明：平面
平面PBD；
（Ⅲ）求直線DC與平面PBD所成角的正弦值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，
是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線
與AB相交于點(diǎn)D，與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)．
（Ⅰ）若
，求
的值；
（Ⅱ）求四邊形
面積的最大值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】為建設(shè)美麗鄉(xiāng)村，政府欲將一塊長(zhǎng)12百米，寬5百米的矩形空地ABCD建成生態(tài)休閑園，園區(qū)內(nèi)有一景觀湖EFG（圖中陰影部分）．以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy（如圖所示）．景觀湖的邊界曲線符合函數(shù)
模型．園區(qū)服務(wù)中心P在x軸正半軸上，PO＝
百米．
（1）若在點(diǎn)O和景觀湖邊界曲線上一點(diǎn)M之間修建一條休閑長(zhǎng)廊OM，求OM的最短長(zhǎng)度；
（2）若在線段DE上設(shè)置一園區(qū)出口Q，試確定Q的位置，使通道直線段PQ最短．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】為了調(diào)查觀眾對(duì)電影“復(fù)仇者聯(lián)盟4”結(jié)局的滿意程度，研究人員在某電影院隨機(jī)抽取了1000名觀眾作調(diào)查，所得結(jié)果如下所示，其中不喜歡“復(fù)仇者聯(lián)盟4”的結(jié)局的觀眾占被調(diào)查觀眾總數(shù)的
.
男性觀眾 | 女性觀眾 | 總計(jì) | |
喜歡“復(fù)仇者聯(lián)盟4”的結(jié)局 | 400 | ||
不喜歡“復(fù)仇者聯(lián)盟4”的結(jié)局 | 200 | ||
總計(jì) |
（Ⅰ）完善上述
列聯(lián)表；
（Ⅱ）是否有99.9%的把握認(rèn)為觀眾對(duì)電影“復(fù)仇者聯(lián)盟4”結(jié)局的滿意程度與性別具有相關(guān)性？
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知雙曲線方程為
.
（1）已知直線
與雙曲線
交于不同的兩點(diǎn)
，且線段
的中點(diǎn)在圓
上，求
的值；
（2）設(shè)直線
是圓
上動(dòng)點(diǎn)
處的切線，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)，證明
的大小為定值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某市調(diào)研考試后，某校對(duì)甲、乙兩個(gè)文科班的數(shù)學(xué)考試成績(jī)進(jìn)行分析，規(guī)定：大于或等于120分為優(yōu)秀，120分以下為非優(yōu)秀.統(tǒng)計(jì)成績(jī)后，得到如下的列聯(lián)表，且已知在甲、乙兩個(gè)文科班全部110人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為
.
優(yōu)秀 | 非優(yōu)秀 | 合計(jì) | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合計(jì) | 110 |
（1）請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表；
（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，若按99.9%的可靠性要求，能否認(rèn)為“成績(jī)與班級(jí)有關(guān)系”；
參考公式與臨界值表：
.
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知數(shù)列
和
滿足：
，
，
，其中
為實(shí)數(shù)，
為正整數(shù)．
（Ⅰ）證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，數(shù)列不是等比數(shù)列；
（Ⅱ）證明：當(dāng)
時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅲ）設(shè)
為數(shù)列的前項(xiàng)和，是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正整數(shù)，都有
？若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．
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