Question

【題目】已知雙曲線方程為.

（1）已知直線與雙曲線交于不同的兩點，且線段的中點在圓上，求的值；

（2）設直線是圓上動點處的切線，與雙曲線交于不同的兩點，證明的大小為定值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）證明見解析

【解析】

（1）將直線方程與雙曲線方程聯立，利用一元二次方程根與系數的關系、中點坐標公式，結合題意進行求解即可；

（2）先求出直線的方程，與雙曲線聯立，利用一元二次方程根與系數關系，結合平面向量夾角公式進行證明即可.

（1）設兩點的坐標分別為，線段的中點為，由得，，

.

點在圓上，

（2）點在圓上，所以有，

因為，所以設過與該圓相切的直線的斜率為，

因此有 ，所以切線方程為：，

化簡，得.由及，得.∵切線與雙曲線交于不同的兩點，且，且.設兩點的坐標分別為，則.，且的大小為90°.