Question

過雙曲線M：x²-

y2

b2

=1的左頂點(diǎn)A作斜率為2的直線l，若l與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于點(diǎn)B、C，且

BC

=2

AB

，則雙曲線M的離心率是（　　）

• A．

  5

• B．

  10

• C．

  17

• D．

  37

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線方程，得漸近線方程為y=-bx或y=bx．設(shè)直線l的方程為y=2x+2，與漸近線方程聯(lián)解分別得到B、C的縱坐標(biāo)關(guān)于b的式子．由

BC

=2

AB

，得3y_B=y_C，利用向量坐標(biāo)公式建立關(guān)于b的方程并解之可得，由此算出c，即可得到該雙曲線的離心率．

解答：解：由題可知A（-1，0）所以直線l的方程為y=2x+2
∵雙曲線M的方程為x²-

y2

b2

=1，∴兩條漸近線方程為y=-bx或y=bx
由y=2x+2和y=-bx聯(lián)解，得B的縱坐標(biāo)為y_B=

2b

b+2

，同理可得C的橫坐標(biāo)為x_C=

2b

b-2

∵

BC

=2

AB

，可得3y_B=y_C，
即

2b

b+2

•3=

2b

b-2

，解之得b=4，（b=0舍去）
因此，c=

a2+b2

=

17

，可得雙曲線的離心率e=

c

a

=

17

．
故選C．

點(diǎn)評：本題給出雙曲線的漸近線與過左頂點(diǎn)A的直線相交于B、C兩點(diǎn)，求雙曲線的離心率．著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．