Question

已知雙曲線x2-

y2

3

=1的左、右焦點為F₁、F₂，過點F₂的直線L與其右支相交于M、N兩點（點M在x軸的上方），則點M到直線y=

3

x的距離d的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據雙曲線的性質可得：當直線L的斜與直線y=

3

x的斜率很接近時，則點M就接近于直線y=

3

x；當直線L的斜與直線y=-

3

x的斜率很接近時，則點M就遠離直線
y=

3

x，進而利用極限的思想求出范圍即可．

解答：解：由題意可得：雙曲線x2-

y2

3

=1的漸近線方程為y=±

3

x，F₂（2，0），
根據雙曲線的性質可得：
當直線L的斜與直線y=

3

x的斜率很接近時，則點M就接近于直線y=

3

x，即此時點M到直線y=

3

x的距離d接近于0．
直線L的斜與直線y=-

3

x的斜率很接近時，則點M就遠離直線y=

3

x，即此時點M到直線y=

3

x的距離d接近于

3

2

．
故答案為：（0，

3

4

）．

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握雙曲線的簡單性質，以及熟練利用極限思想解決問題．