Question

已知雙曲線C_1：x²-y²=m（m＞0）與橢圓C2：

x2

a2

+

y2

b2

=1有公共焦點F₁F₂，點N(

2

，1)是它們的一個公共點．
（1）求C₁，C₂的方程；
（2）過點F₂且互相垂直的直線l₁，l₂與圓M：x²+（y+1）²=4分別相交于點A，B和C，D，求|AB|+|CD|的最大值，并求此時直線l₁的方程．

Answer 1

分析：（1）把點N(

2

，1)代入雙曲線C₁：x²-y²=m（m＞0），求得m的值，求得橢圓的焦點，把點N(

2

，1)代入橢圓C2：

x2

a2

+

y2

b2

=1，解方程組即可求得C₁，C₂的方程；
（2）根據直線l₁，l₂與圓相交，由垂徑定理可得四邊形MEF₂F是矩形（其中M是圓的圓心），設圓M的圓心為M，l₁、l₂被圓M所截得弦的中點分別為E，F，弦長分別為d₁，d₂，利用勾股定理可得ME²+MF²=F₂M²=3，利用基本不等式即可求得|AB|+|CD|的最大值，和此時直線l₁的方程．

解答：解：（1）點N（

2

，1）是雙曲線C₁：x²-y²=m（m＞0）上的點，∴m=（

2

）²-1=1．
∴雙曲線C₁：x²-y²=1，從而F₁（-

2

，0），F₂（

2

，0），∴a²＞b²，且a²-b²=2．①
又點N（

2

，1）在橢圓上，則

2

a2

+

1

b2

=1②
由①②得a²=4，b²=2，所以橢圓的方程為

x2

4

+

y2

2

=1．
（2）設圓M的圓心為M，l₁、l₂被圓M所截得弦的中點分別為E，F，弦長分別為d₁，d₂，因為四邊形MEF₂F是矩形，
所以ME²+MF²=F₂M²=3，即[4-（

d1

2

）²]+[4-（

d2

2

）²]=3，
化簡得d₁²+d₂²=20
從而d₁+d₂≤

2

•

d 2 1 + d 2 2

=2

10

，等號成立?d₁=d₂=

10

，
d₁=d₂=

10

時，∴（d₁+d₂）_max=2

10

，
即l₁、l₂被圓C所截得弦長之和的最大值為2

10

．
設直線l₁的方程為y=k（x-

2

）
圓心M到直線l_1為的距離

3 2

，
∴

| 2 k-1|

1+k2

=

3 2

，解得k=4

2

±

33

，
∴直線l₁的方程為y=4

2

±

33

（x-

2

）．

點評：此題是個難題．本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標準方程及簡單的幾何性質、直線與圓的位置關系，是一道綜合性的試題，考查了學生綜合運用知識解決問題的能力．