Question

（2012•上海）已知雙曲線C₁：x2-

y2

4

=1．
（1）求與雙曲線C₁有相同焦點，且過點P（4，

3

）的雙曲線C₂的標準方程；
（2）直線l：y=x+m分別交雙曲線C₁的兩條漸近線于A、B兩點．當

OA

•

OB

=3時，求實數m的值．

Answer 1

分析：（1）先確定雙曲線C₁：x2-

y2

4

=1的焦點坐標，根據雙曲線C₂與雙曲線C₁有相同焦點，且過點P（4，

3

），建立方程組，從而可求雙曲線C₂的標準方程；
（2）直線方程與雙曲線C₁的兩條漸近線聯立，求出A、B兩點的坐標用坐標，利用數量積，即可求得實數m的值．

解答：解：（1）∵雙曲線C₁：x2-

y2

4

=1，
∴焦點坐標為（

5

，0），（-

5

，0）
設雙曲線C₂的標準方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵雙曲線C₂與雙曲線C₁有相同焦點，且過點P（4，

3

）
∴

a2+b2=5 16 a2 - 3 b2 =1

，解得

a=2 b=1

∴雙曲線C₂的標準方程為

x2

4

-y2=1
（2）雙曲線C₁的兩條漸近線為y=2x，y=-2x
由

y=2x y=x+m

，可得x=m，y=2m，∴A（m，2m）
由

y=-2x y=x+m

，可得x=-

1

3

m，y=

2

3

m，∴B（-

1

3

m，

2

3

m）
∴

OA

•

OB

=-

1

3

m2+

4

3

m2=m2
∵

OA

•

OB

=3
∴m²=3
∴m=±

3

點評：本題考查雙曲線的標準方程與幾何性質，考查直線與雙曲線的位置關系，考查向量的數量積，聯立方程組是關鍵．