Question

已知一條曲線C在y軸右邊，C上任意一點到點F₁（2，0）的距離減去它到y軸距離的差都是2．
（1）求曲線C的方程；
（2）若雙曲線M：x²-

y2

t

=1（t＞0）的一個焦點為F₁，另一個焦點為₂，過F₂的直線l與M相交于A、B兩點，直線l的法向量為

n

=（k，-1）（k＞0），且

OA

•

OB

=0，求k的值．

Answer 1

分析：（1）根據條件建立C的軌跡方程，然后求出曲線C的方程．
（2）設直線l的方程，聯立直線與雙曲線，利用

OA

•

OB

=0，求出參數k 的值．

解答：解：（1）設P（x，y）是曲線C上任意一點，…1分
那么點P（x，y）滿足

(x-2)2+y2

-x=2，x＞0…3分
化簡，得y²=8x，（x＞0），即為曲線C的方程．…4分（或者利用拋物線的定義也可以）
（2）雙曲線M一個焦點坐標為（2，0），所以1+t=4，即k=3…5分
所以雙曲線M的方程為：x2-

y2

3

=1．…6分
設直線l的方程為y=k（x+2），
由

y=k(x+2) x2- y2 3 =1

得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0  …7分
所以

x1+x2=- 4k2 3-k2 x1x2=- 4k2+3 3-k2

…8分
由

OA

•

OB

=0得x₁x₂+y₁y₂=0 …9分
即(1+k2)x1x2+2k2(x1+x2)+4k2=0
代入化簡，并解得k=±

3 5

=±

15

5

（舍去負值），所以k=

15

5

 …10分．

點評：本題主要考查了拋物線的方程，直線與雙曲線的位置關系的應用，利用直線和雙曲線聯立，轉化為根與系數之間的關系是解決本題的關鍵，考查學生的運算能力．