Question

【題目】已知函數(其中為常數且)在處取得極值.

(1)當時，求的極大值點和極小值點；

(2)若在上的最大值為1，求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）單調遞增區間為，；單調遞減區間為; （Ⅱ）或.

【解析】

試題分析：（1）通過求解函數的導數，結合函數的極值點，求出，然后通過函數的單調性求解極值點即可；（2）令，求出，，然后討論當時，得出的單調區間，求出的最大值，求出；再討論時，當，及時，分別得出的單調區間，求出的最大值，即可求出的值.

試題解析：(1)∵

∴.

∵函數在處取得極值，

∴

∴當時，，則

、隨的變化情況如下表：

				1
	＋	0	－	0	＋
		極大值		極小值

∴的單調遞增區間為和，單調遞減區間為

∴的極大值點為，的極小值點為1.

(2)∵

令得，，

∵在處取得極值

∴

（ⅰ）當時，在上單調遞增，在上單調遞減，

∴在區間上的最大值為，則，即

∴

（ⅱ）當時，

①當時，在上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增，

∴的最大值1可能在或處取得，

而

∴

∴

②當時，在區間上單調遞增，上單調遞減，上單調遞增

∴的最大值1可能在或處取得，而

∴，即，與

③當時，在區間上單調遞增，在上單調遞減，

∴的最大值1可能在處取得，而，矛盾．

綜上所述，或.