Question

【題目】已知四棱錐中，底面為直角梯形， 平面，側(cè)面是等腰直角三角形， ， ，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)．

（1）證明：平面平面；

（2）求銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)

【解析】，

試題分析：（1）取AC的中點(diǎn)F，連接BF，可證平面ACD，又可證四邊形BFME是平行四邊形.可得 EM//BF，可證平面ACD，從而平面平面；（2）利用空間直角坐標(biāo)進(jìn)行向量運(yùn)算，根據(jù)法向量夾角即可求出.

試題解析：

（1）證明：取AC的中點(diǎn)F，連接BF，

因為AB＝BC，所以， 平面ABC,所以CD .

又所以平面ACD.①

因為AM=MD，AF=CF，所以.

因為 ，所以//MF，

所以四邊形BFME是平行四邊形.所以EM//BF.②

由①②,得平面ACD，所以平面平面；

（2）解： BE平面ABC，

又，

以點(diǎn)B為原點(diǎn)，直線BC、BA、BE分別為x,y,z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz.

由，得B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，D(2,0,2).

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得， ,，

設(shè)向量為平面BMC的一個法向量，則即

令y=1,得x=0，z=－1，即,

由（I）知， 是平面ACD的一個法向量.

設(shè)二面角B－CM－A的平面角為，

則，

又二面角B－CM－A為銳二面角，故.