Question

【題目】已知函數.

(1)當時，求函數的值域；

(2)如果對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)；(2) .

【解析】

（1）利用配方法化簡函數，根據函數的定義域，換元得到t＝∈[0,2]，由二次函數的性質，即可求出函數的值域；（2）先利用對數運算化簡不等式，換元，再通過分離參數法，轉化為最值問題，利用基本不等式求出最值，即可求出實數的取值范圍．

(1)h(x)＝(4－2)·＝－2(－1)2＋2，

因為x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，，

故函數h(x)的值域為[0,2]．

(2)由f(x2)·f()＞k·g(x)，

得(3－4)(3－)＞k·，

令，因為x∈[1,4]，所以t＝∈[0,2]，

所以(3－4t)(3－t)＞k·t對一切t∈[0,2]恒成立，

①當t＝0時，k∈R；

②當t∈(0,2]時，恒成立，

即，

因為，當且僅當，即時取等號，

所以的最小值為－3.所以k＜－3.

綜上，實數k的取值范圍為(－∞，－3)．