Question

【題目】如圖，在以A，B，C，D，E，F為頂點的多面體中，AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，AB=CD，∠ABC=60°，BC=AF=2AD=4DE=4．
（Ⅰ）請在圖中作出平面α，使得DEα，且BF∥α，并說明理由；
（Ⅱ）求直線EF與平面BCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）取BC的中點G，連接EG，DG，則平面EDG為所求． ∵AD=2，BG=2，AD∥BC，
∴四邊形ADGB是平行四邊形，
∴AB∥DG，
∵AB平面EDG，DG平面EDG，
∴AB∥平面EDG．
同理AF∥平面EDG，
∵AB∩AF=A，
∴平面ABF∥平面EDG，
∵FB平面ABF，
∴BF∥平面EDG；
（Ⅱ）以點A為坐標原點，AD為y軸，AF為z軸，過A垂直于AD的直線為x軸，建立如圖所示的坐標系，則F（0，0，4），E（0，2，1），B（ ，﹣1，0），C（ ，3，0），
∴ =（0，﹣2，3）， =（0，4，0）， =（﹣ ，3，1），
設平面BCE的法向量為 =（x，y，z），則 ，
取 =（ ，0，3），則直線EF與平面BCE所成角的正弦值= = ．

【解析】（Ⅰ）取BC的中點G，連接EG，DG，證明平面ABF∥平面EDG，可得結論；（Ⅱ）建立如圖所示的坐標系，求出平面BCE的法向量，利用向量方法求直線EF與平面BCE所成角的正弦值．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．