Question

【題目】已知函數f（x）=|x+1|+|x﹣2|，不等式f（x）≥t對x∈R恒成立．
（1）求t的取值范圍；
（2）記t的最大值為T，若正實數a，b滿足a2+b2=T，求證： ≤ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=|x+1|+|2﹣x|≥|x+1+2﹣x|=3，所以t≤3
（2）證明：由（1）知T=3，所以a2+b2=3（a＞0，b＞0）

因為a2+b2≥2ab，所以 ，又因為 ，

所以 （當且僅當a=b時取“=”）：

【解析】（1）利用絕對值三角不等式求出f（x）的最小值，即可求t的取值范圍；（2）求出t的最大值為T，化簡a2+b2=T，利用基本不等式證明： ≤ ．
【考點精析】掌握不等式的證明是解答本題的根本，需要知道不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．