Question

【題目】

函數.

（1）當時，求函數的定義域；

（2）若，判斷的奇偶性；

（3）是否存在實數，使函數在遞增，并且最大值為1，若存在，求出的值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）為奇函數；（3）.

【解析】

試題分析：（1）當時，根據解得；（2）化簡，先判斷定義域關于原點對稱，然后利用奇偶性的定義，判斷，故函數為奇函數；（3）利用復合函數的單調性可知，由解得，經驗證符合題意.

試題解析：

（1）由題意：，∴，即，所以函數的定義域為.

（2）易知，∵且，∴關于原點對稱，又∵，

∴，∴為奇函數.

（3）令，∵，，∴在上單調遞減，又∵函數在遞增，

∴，又∵函數在的最大值為1，∴，即，∴，∵，∴符合題意.即存在實數，使函數在遞增，并且最大值為 .