【題目】如圖，已知等邊
中，
，
分別為
，
邊的中點(diǎn)，
為
的中點(diǎn)，
為
邊上一點(diǎn)，且
，將
沿
折到
的位置，使平面
平面
.
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值.
【答案】詳見(jiàn)解析.
【解析】
試題分析：（1）首先根據(jù)已知條件可證出
，再由面面垂直的性質(zhì)定理并結(jié)合平面
平面
可得出
平面，然后再由
和
可證得
，再在正
中易證得
平面
，最后由面面垂直的判定定理即可得出所證的結(jié)論；（2）首先建立空間直角坐標(biāo)系，并正確寫出各點(diǎn)的空間坐標(biāo)，然后由法向量的定義分別求出平面
和平面
的法向量，最后由公式
即可計(jì)算出所求的角的大小.
試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?/span>
，
為等邊的
，
邊的中點(diǎn)，
所以
是等邊三角形，且
.因?yàn)?/span>
是
的中點(diǎn)，所以.
又由于平面平面，
平面
，所以平面.
又
平面，所以.因?yàn)?/span>，所以
，所以.
在正中知
，所以
.而
，所以平面.
又因?yàn)?/span>
平面
，所以平面
平面
.
（Ⅱ）設(shè)等邊的邊長(zhǎng)為4，取
中點(diǎn)
，連接
，由題設(shè)知
，由（Ⅰ）知
平面
，又
平面，所以
，如圖建立空間直角坐標(biāo)系
，則
，
，
，
，
.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
，則
由
得
令
，則
.
平面的一個(gè)法向量為
，所以
，
顯然二面角
是銳角.所以二面角
的余弦值為
.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】
函數(shù)
.
（1）當(dāng)
時(shí)，求函數(shù)
的定義域；
（2）若
，判斷
的奇偶性；
（3）是否存在實(shí)數(shù)
，使函數(shù)在
遞增，并且最大值為1，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】統(tǒng)計(jì)表明，某種型號(hào)的汽車在勻速行駛中每小時(shí)的耗油量
（升）關(guān)于行駛速度
（千米/小時(shí)）的函數(shù)解析式可以表示為：
．已知甲、乙兩地相距100千米．
（Ⅰ）當(dāng)汽車以40千米/小時(shí)的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地要耗油多少升？
（II）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時(shí)，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】已知
，
是兩條不同直線，
，
是兩個(gè)不同平面，則下列命題正確的是（ ）
A.若，垂直于同一平面，則與平行
B.若，平行于同一平面，則與平行
C.若，不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線
D.若，不平行，則與不可能垂直于同一平面
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知圓
的極坐標(biāo)方程為
，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)）．若直線
與圓
相交于不同的兩點(diǎn)
，
．
（Ⅰ）寫出圓
的直角坐標(biāo)方程，并求圓心的坐標(biāo)與半徑；
（Ⅱ）若弦長(zhǎng)
，求直線
的斜率．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
，
.
（Ⅰ）當(dāng)
，
時(shí)，設(shè)
，求證：對(duì)任意的
，
；
（Ⅱ）當(dāng)
時(shí)，若對(duì)任意
，不等式
恒成立.求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某制造廠商10月份生產(chǎn)了一批乒乓球，從中隨機(jī)抽取
個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)球的直徑（單位：
），將數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，得到如下頻率分布表：
（1）求
、
、及
、
的值，并畫出頻率分布直方圖（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；
（2）已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為
，直徑誤差不超過(guò)
的為五星乒乓球，若這批乒乓球共有
個(gè)，試估計(jì)其中五星乒乓球的數(shù)目；
（3）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值（例如區(qū)間
的中點(diǎn)值是
）作為代表，估計(jì)這批乒乓球直徑的平均值和中位數(shù)．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：
【題目】某制造廠商10月份生產(chǎn)了一批乒乓球，從中隨機(jī)抽取
個(gè)進(jìn)行檢查，測(cè)得每個(gè)球的直徑（單位：
），將數(shù)據(jù)進(jìn)行分組，得到如下頻率分布表：
（1）求
、
、
及
、
的值，并畫出頻率分布直方圖（結(jié)果保留兩位小數(shù)）；
（2）已知標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的直徑為
，直徑誤差不超過(guò)
的為五星乒乓球，若這批乒乓球共有
個(gè)，試估計(jì)其中五星乒乓球的數(shù)目；
（3）統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值（例如區(qū)間
的中點(diǎn)值是
）作為代表，估計(jì)這批乒乓球直徑的平均值和中位數(shù)．
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