Question

【題目】平面內有兩個定點A（1，0），B（1，﹣2），設點P到A、B的距離分別為，且

（I）求點P的軌跡C的方程；

（II）是否存在過點A的直線與軌跡C相交于E、F兩點，滿足（O為坐標原點）．若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（II）存在過點A的直線：x=1，理由見解析．

【解析】試題分析：（1）設點 坐標，利用兩點間距離公式及題中給出的等式可求得的軌跡方程。（2）分兩種情況討論：一、斜率不存在；二、斜率存在。當斜率不存在時，很容易求得三角形面積，滿足題中條件；當斜率存在時，可設直線方程，可求得 的長度，及 到的距離，利用三角形面積為 可求得直線的斜率，得直線方程。

（Ⅰ）設P（x，y），

則，d2=，

∵，∴=，

整理得： ,

∴點P的軌跡C的方程為 ．

（II）存在過點A的直線，與軌跡C相交于E，F兩點，且使三角形S△OEF．

理由如下：

①當直線的斜率不存在時，直線的方程為x=1，

直線過圓心， ， 點到直線的距離為1，

此時，，所以成立．

②當直線斜率存在時，設方程為：．

點到的距離，利用勾股定理，得：

．

點到的距離，

，

整理得，無解．所以直線斜率存在時滿足題意的直線不存在．

綜上，存在過點A的直線：x=1，滿足題意．