Question

【題目】已知函數，.

（1）若，判斷函數的單調性并說明理由；

（2）若，求證：關的不等式在上恒成立.

Answer 1

【答案】（1）函數在上單調遞減，理由見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求出函數的導數，分析導數在區間上的符號，即可得出結論；

（2）將所證不等式變形為，證明出，于是將不等式轉化為證明，通過證明出，將不等式轉化為，然后構造函數，利用單調性證明即可.

（1）函數在上單調遞減，理由如下：

依題意，，則.

當時，，故函數在上單調遞減；

（2）要證，即證，

即證.

設，則.

當時，，所以在上單調遞增，

所以，即.

故當時，，

故即證.

令，.

由（1）可知，，

故在上單調遞增.

所以，當時，，即，

所以，當時，，

所以只需證明，即證明.

設，則.

所以在上單調遞增，所以，所以原不等式成立.