Question

【題目】已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)到直線的距離為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，滿足，求直線的方程．

Answer 1

【答案】（1）；

（2）或.

【解析】

（1）設(shè)出右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，通過點(diǎn)到直線距離公式，可以求出的值，根據(jù)已知可知離心率，進(jìn)而可以求出的值，利用，可以求出，最后求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)出直線交橢圓于兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用，可以求出兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的關(guān)系，直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系，可以求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的方程.

（1）設(shè)右焦點(diǎn)為，則，或 （舍去）．

又離心率，即，解得，則，

故橢圓的方程為.

（2）設(shè)，因，

所以，　①，

易知當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為0時(shí)，①不成立，

于是設(shè)的方程為，聯(lián)立消去得，

因?yàn)?/span>，所以直線與橢圓相交．

于是　②，　③，

由①②得，，代入③整理得.

所以直線的方程是或.