Question

【題目】設是公差不為零的等差數列，滿足數列的通項公式為

（1）求數列的通項公式；

（2）將數列,中的公共項按從小到大的順序構成數列，請直接寫出數列的通項公式；

（3）記，是否存在正整數 ，使得成等差數列？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在正整數m＝11，n＝1；m＝2，n＝3；m＝6，n＝11使得b2，bm，bn成等差數列

【解析】試題分析:(1)利用基本元的思想,將已知條件轉化為的形式,解方程組求得 的值,并求得的通項公式.(2)由于是首項為,公差為的等差數列,且,而是,首項為,第二項為的等差數列,故是首項為,公差為的等差數列,故通項公式為.(3) ,先假設存在這樣的數,利用成等差數列,化簡得到,利用列舉法求得的值.

試題解析:

（1）設公差為，則，由性質得，因為，所以，即，又由得，解得，

所以的通項公式為

(2)

(3),假設存在正整數m、n，使得d5，dm，dn成等差數列，則d5＋dn＝2dm．

所以＋＝， 化簡得：2m＝13－．

當n－2＝－1，即n＝1時，m＝11，符合題意；

當n－2＝1，即n＝3時，m＝2，符合題意

當n－2＝3，即n＝5時，m＝5(舍去) ；

當n－2＝9，即n＝11時，m＝6，符合題意．

所以存在正整數m＝11，n＝1；m＝2，n＝3；m＝6，n＝11

使得b2，bm，bn成等差數列．