Question

【題目】已知各項(xiàng)不為零的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn ， 且a1=1，Sn=panan+1（n∈N*），p∈R．
（1）若a1 ， a2 ， a3成等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)p的值；
（2）若a1 ， a2 ， a3成等差數(shù)列，
①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
②在an與an+1間插入n個(gè)正數(shù)，共同組成公比為qn的等比數(shù)列，若不等式（qn）（n+1）（n+a）≤e對任意的n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)a的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當(dāng)n=1時(shí)，a1=pa1a2， ，當(dāng)n=2時(shí)，a1+a2=pa2a3， ，

由 得 ，即p2+p﹣1=0，解得：

（2）

解：①由2a2=a1+a3得 ，故a2=2，a3=3，所以 ，

當(dāng)n≥2時(shí)， ，

因?yàn)閍n≠0，所以an+1﹣an﹣1=2

故數(shù)列{an}的所有奇數(shù)項(xiàng)組成以1為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，

其通項(xiàng)公式

同理，數(shù)列{an}的所有偶數(shù)項(xiàng)組成以2為首項(xiàng)2為公差的等差數(shù)列，

其通項(xiàng)公式是

所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=n

②an=n，在n與n+1間插入n個(gè)正數(shù)，組成公比為qn的等比數(shù)列，故有 ，

即

所以 ，即 ，兩邊取對數(shù)得 ，

分離參數(shù)得 恒成立

令 ，x∈（1，2]，則 ，x∈（1，2]，…（12分）

令 ，x∈（1，2]，則 ，

下證 ，x∈（1，2]，

令 ，則 ，所以g（x）＞0，

即 ，用 替代x可得 ，x∈（1，2]，

所以 ，所以f（x）在（1，2]上遞減，

所以

【解析】（1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的性質(zhì)即可得出p．（2）①利用遞推關(guān)系、等差數(shù)列的性質(zhì)即可得出an ． ②an=n，在n與n+1間插入n個(gè)正數(shù)，組成公比為qn的等比數(shù)列，故有 ，即 ，即 ，兩邊取對數(shù)得 ，分離參數(shù)得 恒成立．令 ，x∈（1，2]，則 ，x∈（1，2]，令 ，x∈（1，2]，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．