Question

【題目】在如圖所示的多面體中， 平面 ， ， ， ， ， ， ， 是 的中點.

（1）求證： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ ， ，∴ ，又∵ ， 是 的中點，∴ ，且 ，∴四邊形 是平行四邊形，∴ .∵ 平面 ， 平面 ，∴ 平面

（2）解：∵ 平面 ， 平面 ， 平面 ，∴ ， ，又 ，∴ 兩兩垂直，以點 為坐標原點， 分別為 軸，

建立如圖的空間直角坐標系，

由已知得 ， ， ， ， ， ，由已知得 是平面 的法向量，設平面 的法向量為 ，∵ ， ，∴ ，即 ，令 ，得 .設二面角 的大小為 . ，∴二面角 的余弦值為 .

【解析】（1）先證明四邊形 A D G B 是平行四邊形，在平面 D E G中找到A B ∥ D G，從而證得結論.
（2）建立空間直角坐標系，借助向量求解.
【考點精析】利用直線與平面平行的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．